Contoh Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMA

Contoh Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMA

Berikut ini contoh soal olimpiade matematika tingkat SMA (Sekolah Menengah Atas) berikut pembahasannya.

1. Manakah di antara bilangan ini yang paling besar?

A. 2⁸¹
B. 4³²
C. (4⁴)¹⁰
D. 16¹⁸
E. (8³)⁸

Pembahasan:

Untuk mengetahui bilangan terbesar dari  2⁸¹ , 4³² ,  (4⁴)¹⁰ ,  16¹⁸ , dan (8³)⁸ kita tuliskan semua bilangan sebagai pangkat dari 2, kemudian gunakan aturan perpangkatan untuk mendapatkan kesimpulan.

4³² = (2²)³² = 2⁶⁴

(4⁴)¹⁰ = ((2²)⁴)¹⁰ = 2⁸⁰

16¹⁸  = (2⁴)¹⁸  = 2⁷²

(8³)⁸ = ((2³)3)8 = 2⁷²

Jadi bilangan terbesar adalah 2⁸¹

Jawaban (A)

2. Suatu bilangan bulat a ≥ 2 merupakan bilangan prima jika faktornya hanyalah a dan 1. Misalkan M menyatakan perkalian 100 bilangan prima yang pertama.
Berapa banyakkah angka 0 di akhir bilangan M?

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4

Pembahasan:

Banyaknya digit 0 di ujung penulisan desimal sebuah bilangan bergantung kepada pangkat 10 yang menjadi faktor bilangan tersebut. Dalam kasus ini faktor M yang merupakan pangkat 10 hanyalah berasal dari digit 2 dan 5 (yang prima). Karena
faktor 2 hanya muncul sekali dalam perkalian, jadi tidak mungkin bilangan tersebut habis dibagi 10ⁿ dengan n ≥ 2 untuk setiap n bilangan asli. Akibatnya digit 0 hanya muncul sekali di ujung bilangan M.
Jawaban (B)

3. Seorang Kimiawan menghabiskan seluruh usianya pada tahun 1800-an. Pada tahun terakhir dalam masa hidupnya dia mengatakan bahwa: “Dulu aku berusia x tahun pada tahun x2 ”. Pada tahun berapakah ia dilahirkan?

A. 1806
B. 1822
C. 1849
D. 1851
E. 1853

Pembahasan:

Mula-mula kita cari bilangan kuadrat sempurna di tahun 1800-an.

Karena (42)² = 1764 < (43) ²  = 1849 < (44) ²  = 1936

Maka hanya terdapat satu bilangan kuadrat sempurna di tahun 1800-an yaitu (43) ²  = 1849.

Jadi x²  = (43)² –> x = 43

Akibatnya Kimiawan berusia 43 tahun pada tahun 1849. Jadi, ia lahir pada tahun (1849 – 49) = tahun1806.

Jawaban (A)

4. Lima ekor sapi memakan rumput seluas 5 kali ukuran lapang bola dalam 5 hari.
Berapa hari yang diperlukan oleh 3 ekor sapi untuk menghabiskan rumput seluas 3 kali lapangan bola?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
E. 6

Pembahasan:

Lima ekor sapi memakan rumput seluas 5 kali ukuran lapang bola dalam 5 hari.

Pernyataan di atas ekivalen dengan

Satu ekor sapi memakan rumput seluas 1 kali ukuran lapang bola dalam 5 hari.

Jadi banyaknya hari yang diperlukan 3 ekor sapi untuk memakan rumput seluas 3 kali ukuran lapang bola adalah 5 hari.

Jawaban (D)

5. Indra berlari tiga kali lebih cepat dari kecepatan Abong berjalan kaki. Misalkan Abong yang lebih cerdas dari Indra menyalesaikan ujian pada pukul 02:00 siang dan mulai berjalan pulang. Indra menyelesaikan ujian pada pukul 02:12 siang dan berlari mengejar Abong. Pada pukul berapakah Indra tepat akan menyusul Abong?
A. 02:15
B. 02:16
C. 02:17
D. 02:18
E. 02:19

Pembahasan:

Misalkan VA, SA dan TA masing-masing menyatakan kecepatan , jarak dan waktu yang ditempuh oleh Abong. Sedangkan VR, SR dan TR masing-masing menyatakan kecepatan, jarak dan waktu yang ditempuh oleh Indra.

Perhatikan bahwa pada saat Reza menyusul Andre jarak yang telah mereka tempuh adalah sama, maka

SR = SA  — > V_A.T_A = V_R.T_R …. (1)

Kemudian karena Abong lebih dulu 12 menit dalam menyelesaikan ujian, maka

TR = TA – 12 . . . (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

V_A.T_A = V_R..(TA – 12). . . (3)

Selanjutnya karena kecepatan berlari Indra adalah 3 kali lebih cepat dari kecepatan Abong berjalan, maka:

VR = 3VA . . . (4)

Dari persamaan (3) dan (4) diperoleh

V_A.T_A =  3VA . (TA – 12) — > TA = 3TA – 36

— > 2TA = 36

— > TA = 18

— > TR = TA – 12

= 18 – 12

= 6

Jadi, waktu yang diperlukan oleh Indra untuk tepat menyusul Abong adalah 6 menit yaitu pada pukul 02:12 + 00:06 = pukul 02:18 siang.

Jawaban (D)

6. Diberikan a > 0, b > 0, a > b, dan c 0. Ketidaksamaan yang TIDAK selalu benar adalah …

1. a + c > b + c
2. a c > b – c
3. ac > bc
4. a/c² > b/c²
5. ac² > bc²

Pembahasan:

Pernyataan pilihan C tidak benar karena perkalian kedua ruas dengan bilangan negatif akan membalikkan urutan (Ingat bahwa z ≠ 0, nilai z mungkin bernilai negatif)
Jawaban (C)

7. Berapakah jumlah digit-digit bilangan 2²⁰⁰⁹ . 5²⁰¹⁰?

Pembahasan:

2²⁰⁰⁹ . 5²⁰¹⁰ = 2²⁰⁰⁹ . 5.5²⁰⁰⁹

= 5. 2²⁰⁰⁹ . 5²⁰⁰⁹

= 5. (2. 5)²⁰⁰⁹

= 5. 10²⁰⁰⁹

Jadi jumlah digit-digit bilangan itu adalah 5

Catatan : kata “jumlah” tidak sama dengan kata “banyaknya”. Banyaknya digit pada bilangan di atas adalah banyaknya digit 0 ditambah banyaknya digit 5 yaitu 2009 + 1 = 2010.

8. Suatu amplop tertutup berisi sebuah kartu bertuliskan sebuah kota yang akan
meraih penghargaan Adipura. Diketahui pula bahwa 3 diantara pernyataan berikut
adalah benar dan sisanya salah.
I : Kota tersebut adalah Kota Tasikmalaya
II : Kota tersebut adalah Kota Bandung
III : Kota tersebut adalah bukan Kota Depok
IV : Kota tersebut adalah bukan Kota Ciamis
Yang manakah diantara pernyataan berikut yang pasti benar?
A. I salah
B. II benar
C. II salah
D. III salah
E. IV benar

Pembahasan:

Dua pernyataan atau lebih dikatakan saling ekivalen jika pernyataan satu dengan yang lainnya tidak saling kontradiksi. Pernyataan I dan II saling kontradiksi karena menunjuk pada kota yang berbeda. Salah satu dari pernyataan I atau II
haruslah salah. Akibatnya pernyataan I dan II tidak bisa ditentukan nilai kebenarannya.
Kemudian karena dari 4 pernyataan terdapat 3 pernyataan yang benar maka haruslah pernyataan III dan IV keduanya benar. Perhatikan juga bahwa pernyataan III dan IV tidak saling kontradiksi.
Jadi, pernyataan yang pasti benar adalah IV benar.
Jawaban (E)

9. Jika x – y > x dan x + y < y, maka …
A. y < x
B. x < y
C. x < y < 0
D. x < 0 dan y < 0
E. x < 0 dan y > 0

Pembahasan:

x – y > x  –> – y > 0 (Hukum pencoretan terhadap penjumlahan)

–> y < 0

Kemudian

x + y < y –>  x < 0 (Hukum pencoretan terhadap penjumlahan)

Jadi, x < 0 dan y < 0

Jawaban (D)

10. Bilangan bulat positif p  2 disebut bilangan prima jika ia hanya mempunyai
faktor 1 dan p. Tentukan nilai penjumlahan semua bilangan prima diantara 1 dan
100 yang sekaligus bersifat: satu lebihnya dari suatu bilangan kelipatan 5 dan satu
kurangnya dari suatu bilangan kelipatan 6.

Pembahasan:

Akan dicari penjumlahan semua bilangan prima antara 1 dan 100 yang mempunyai sifat sekaligus : satu lebihnya dari kelipatan 5 dan satu kurangnya dari kelipatan 6.
5m – 1 = 6n – 1 –> 5m = 6n – 2
–> 5m = 2(3n – 1)
Perhatikan bahwa kelipatan 5 yang dimaksud (5m) adalah bilangan genap (2k).
Maka kelipatan 5 tersebut adalah 10, 20, 30, . . . , 90.
Untuk nilai 5m sama dengan 10, 40, dan 70 diperoleh nilai 5m – 1 = 6n – 1
masing-masing adalah 11, 41, dan 71 (ketiganya merupakan bilangan prima).
Sedangkan untuk nilai 5m yang lainnya tidak menghasilkan bilangan prima.
Jadi penjumlahan bilangan prima yang dimaksud adalah 11 + 41 + 71 = 123.

Contoh soal olimpiade lainnya:

Contoh Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SD

Soal & Pembahasan Olimpiade Matematika SMP