Perbedaan Uji Z, Uji F, dan Uji t

Perbedaan Uji Z, Uji F, dan Uji t

Oleh: Muhyidin, SKM

Distribusi normal, terkadang disebut kurva lonceng, adalah distribusi yang terjadi secara alami dalam banyak situasi. Misalnya, kurva lonceng terlihat dalam tes seperti nilai ujian Biostatistik Intermediate. Sebagian besar siswa akan mendapatkan nilai rata-rata C, sementara jumlah siswa yang lebih kecil akan mendapatkan nilai B atau D. Persentase yang lebih kecil dari siswa akan mendapatkan nilai F atau A. Hal ini menciptakan distribusi yang menyerupai lonceng (Bell Curve atau Kurva lonceng simetris). Separuh dari data akan berada di sebelah kiri mean/rata-rata; setengahnya lagi akan jatuh ke kanan.

Sebelum lebih jauh mengenal uji Z, uji F, dan uji t, kita perlu mengenal yang namanya Teorema Limit Pusat atau Central Limit Theorem (CLT). Komponen penting Teorema Limit Pusat adalah bahwa rata-rata mean/rata-rata sampel adalah mean populasi. Dengan kata lain, jumlahkan rata-rata dari semua sampel data Anda, temukan rata-rata dan rata-rata itu akan menjadi rata-rata populasi Anda yang sebenarnya. Demikian pula, jika Anda menemukan rata-rata dari semua simpangan baku dalam sampel Anda, Anda akan menemukan simpangan baku sebenarnya untuk populasi Anda. Ini adalah fenomena yang sangat berguna yang dapat membantu memprediksi karakteristik suatu populasi secara akurat.

Bila dari satu populasi diambil sampel berkali-kali secara infinit, maka nilai statistik sampelnya (misalnya mean), bila dibuat distribusi frekuensi, akan membentuk sebaran simetris, apapun bentuk sebaran di populasinya. Jadi:

• Mean of sample mean = mean population –> X̄ = μ
• Standard deviation of sample mean = standard error –> s = SE

Teorema Limit Pusat / Central Limit Theorem

Contoh Teorema Limit Pusat (TLP)

Dalam sebuah populasi lama hari rawat di sebuah RS, diketahui data sebagai berikut:

• Subyek 1 = 3 hari
• Subyek 2 = 4 hari
• Subyek 3 = 5 hari
• Subyek 4 = 6 hari
• Subyek 5 = 7 hari

Jika kita hitung, maka rata-rata lama hari rawat (μ) = (3+4+5+6+7)/5 = 5 dan standar deviasi (σ) = 1,58

Kemudian kita ingin mengambil sampel dengan besar sampel n = 2 secara random infinit. Sehingga akan didapatkan semua kemungkinan data seperti di bawah ini:

Dari data di atas maka kita buat distribusi frekuensi mean sampel dan grafiknya seperti berikut ini:

Dari grafik di atas terlihat distribusi mean sampel berbentuk simetris.

Mean dari mean sampel = 5 yang berarti sama dengan nilai parameter μ

Distribusi normal / Distribusi Gauss / Distribusi Z

Secara umum distribusi normal atau sering disebut distribusi Gauss (ditemukan oleh Johann Carl Friedrich Gauss). Bentuk distribusinya seperti di bawah ini:

Distribusi Z dipakai sebagai acuan bila:

• Jumlah pengamatan besar (n ≥ 30) dan
• Parameter simpang baku (σ) di populasi diketahui

Bila kedua syarat tersebut tidak dapat dipenuhi, maka menggunakan distribusi t.

Perbedaan distribusi Z dan distribusi t

Perbedaan distribusi Z dan distribusi t, digambarkan dalam kurva di bawah ini:

Distribusi t mempunyai rumus perhitungan sebagai berikut:

t = Z √(n-1)

Distribusi t ditemukan oleh W.Gosset. Distribusi normal kurva t digambarkan seperti di bawah ini:

Distribusi normal kurva F

Distribusi normal kurva F ini ditemukan oleh Ronald Fisher. Pada uji F, terdapat 2 df (degree of freedom) atau 2 dk (derajat kebebasan).

t²(df) = F (1, df)

Jadi nilai F sama dengan kuadrat dari nilai t

Jadi, uji Z, uji t dan uji F untuk data yang kontinus (hasil mengukur) dengan distribusi data berdistribusi normal. Sedangkan untuk data berbentuk diskrit (hasil menghitung) dengan ciri bilangannya selalu bulat misalnya 1 pasien, 2 pasien, dst, menggunakan uji binomial, Poisson, dsb.

Contoh penerapan uji Z

Di satu populasi, didapatkan mean tekanan darah sistolik = 120 mmHg dan simpang baku = 10 mmHg. Bila dipilih satu orang dari populasi tsb, berapa probabilitas orang tsb tekanan darah sistoliknya antara 110 sampai 130 mmHg? Berapa probabilitas  orang tsb sistoliknya lebih dari 140 mmHg?

Jawaban:

rumus Z = (y – μ)/σ

Dari soal di atas diketahui nilai μ = 120, nilai σ = 10

Untuk y = 130 mmHg –> Z = (130-120)/10 = +1

Untuk y = 110 mmHg –> Z = (110-120)/10 = -1

Untuk y = 140 mmHg –> Z = (140-120)/10 = +2

Selanjutnya lihat tabel Z seperti di bawah ini:

Lihat kolom Z = 1,00 (dilingkari merah) –> P (Z = 1) = 0,3413

Lihat kolom Z = -1,00 (dilingkari merah) –> P (Z = -1) = -0,3413. Catatan: nilai minus (-) menunjukkan bahwa peluang (P) tersebut berada di sebelah kiri mean.

Probabilitas tekanan darah sistolik antara 110 sampai 130 mmHg = probabilitas dari -1 hingga +1 = 0,3413 + 0,3413 = 0,6826 atau 68,26%. Jika dilihat dari kurva distribusi Gauss di atas nilainya sama bukan? yaitu nilai antara -1 hingga +1 = 68,26%

Lihat kolom Z = 2,00 (gambar di bawah dilingkari merah) –> P (Z = 2) = 0,4772.

Probabilitas tekanan darah sistolik >140 mmHg = 0,5 – 0,4772 = 0,0228 = 2,28%

Catatan = nilai P (Z = 2) = 0,4772 menggunakan probabilitas di bawah kurva normal dengan arsir tengah, artinya nilai tersebut dari nilai tengah (titik Nol / ‘0’) ke arah kanan (untuk positif). Sedangkan pertanyaannya adalah yang >140 mmHg (Z >2) maka menjadi sisi kanan yang 0,5 (ingat distribusi normal terbagi merata 50% data ke kiri dan 50% ke kanan) dikurangi nilai Z yang 0,4772 sehingga menjadi 0,0228.

Jika menggunakan tabel Z dengan arsir pinggir, maka P (Z = 2) = 0,0228

Catatan: kurva arsir pinggir dihitung dari ujung sebelah kanan ke arah kiri. Jadi nilai Z > 2 = 0,0228 berdasarkan tabel Z arsir pinggir di bawah ini.

Contoh penerapan uji F dan uji t

Suatu studi tentang kelayakan pelayanan bedah dengan rawat jalan (AS = ambulatory surgery) melalui teknik simulasi, ingin menilai apakah terdapat penghematan biaya yang dikeluarkan oleh pasien. Berikut datanya (hipotetik).

1. Buatlah pernyataan hipotesis penelitian, serta hipotesis statistik baik hipotesis nol maupun hipotesis alternatif untuk keperluan studi di atas
2. Mengacu kepada hipotesis alternatif yang Saudara buat, apa jenis uji statistiknya, satu ekor atau dua ekor ?
3. Lakukan perhitungan uji statistiknya, dan ambil kesimpulan pada kepercayaan 95%.

Jawaban:

1. Hipotesis nol adalah rata-rata biaya tanpa AS sama dengan rata-rata biaya dengan AS

Hipotesis alternatif adalah rata-rata biaya tanpa AS tidak sama dengan rata-rata biaya dengan AS

Ho = µ1 = µ2

Ha = µ1 ≠ µ2

2. Uji statistiknya yaitu 2 ekor

3. Perhitungan uji statistik Biaya Tanpa AS

Mean = (∑Xi)/n =  (150000+180000+194000+200000+220000)/5 = 188.800

Varians = s²₁ =  ∑ (xi –  x̄ )²/ (n-1) = (150000-188800)²+(180000-188800)²+(194000-188800)²+(200000-188800)²+(220000-188800)²/5

= 677.200.000

Perhitungan uji statistik Biaya dengan AS

Mean = (∑Xi)/n =  (140000+142500+144500+152500+155000)/5 = 146.900

Varians = s²₂ =  ∑ (xi –  x̄ )²/ (n-1) = (140000-146900)²+(142500-146900)²+(144500-146900)²+(152500-146900)²+(155000-146900)²/5

= 42.425.000

             Untuk Standard Error (galat baku) didasarkan pada variasi sebaran dengan uji F

F = s²₁ / s²₂ dengan derajat kebebasan dk₁ = n₁-1 dan dk₂ = n₂-1

F = 677.200.000/42.425.000 dengan dk₁ = 5-1 = 4 dan dk₂ = 5-1 = 4

= 15,96

Melihat tabel F dengan dk pembilang = 4 dan dk penyebut = 4, diperoleh p = 6,4 (nilai p>0,05) sehingga diputuskan Ho tidak ditolak atau variasi data 1 sama dengan variasi data 2. Oleh karena itu rumus Standard Error dihitung dari variasi gabungan (pooled variation) sebagi berikut:

SE = Sp √((1/n₁)+(1/n₂)

S²p = [(n₁-1)*S²₁+(n₂-1)*S²₂]/ (n₁+ n₂-2)

= [(5-1)*677.200.000+(5-1)*42.425.000]/ (5+5-2)

= 359.812.500

Sp = √359.812.500 = 18.968,72

SE = Sp √((1/n₁)+(1/n₂) = 31.994,22√(1/5)+(1/5) = 11.996,9

t = (x̄₁ – x̄₂)/SE

= (188.800-146.900)/11.996,9

= 3,49

Derajat kebebasan (dk) atau degree of freedom = (n₁+ n₂-2) = (5+5-2) = 8

Melihat tabel t dengan nilai 3,49 dan derajat kebebasan (dk) = 8 maka diperoleh p<0,05. Sehingga Ho ditolak yang artinya mean 1 tidak sama dengan mean 2. Kesimpulannya bahwa rata-rata biaya tanpa AS tidak sama dengan rata-rata biaya dengan AS.

Tabel Binomial, Tabel Z, Tabel T, Tabel Chi-square, dan Tabel F

Untuk tabel di atas, silahkan klik link ini.

(Baca juga: Uji Hipotesis)

Referensi:

• Sabarinah Prasetyo & Iwan Ariawan (2008), Biostatistik Dasar untuk Rumah Sakit. Departemen Kependudukan dan Biostatistik. FKM UI.